Кто выдумал ноты?

Строй гитары и любого струнного инструмента в современном его виде не получается произвольным образом, а вытекает из физических свойств самой струны. Так откуда же берутся октавы, почему в одной октаве именно 12 нот и почему лады располагаются на грифе гитары так, а не иначе?

Чтобы ответить на эти вопросы рассмотрим произвольно натянутую струну. В качестве струны может выступать проволока, леска или просто нить. Отметим основное свойство: если укорачивать струну так, чтобы длины получающихся маленьких струн соотносились с длиной всей струны, как небольшие целые числа – 1/2, 2/3, 1/4, 3/4 и т. д. (натяжение струны при этом остается тем же), – то звуки, сыгранные на этих струнах, будут гармоничны друг другу и приятны для слуха – из них можно составить мелодию. Если же взять соотношение близким к этим числам, но не равным, – возникает диссонанс. Вспомним, фложелеты можно сыграть только на целых частях струны – 1/2, 1/3, 1/4 – это и есть проявление данного свойства. Здесь необходимо выделить октаву – музыкальный интервал между звуками целой струны и ее половиной. Два звука, отстоящие на октаву, воспринимаются слухом очень похожими друг на друга, хотя явно различаются по высоте.

Точно так же можно не укорачивать струну на целые части, а удлинять. Обозначим длину всей струны за единицу, и будем последовательно умножать ее сначала на 3/2, а потом на 3/4. Там, где при умножении получается длина больше 2, делим ее на 2, чтобы не выходить за пределы октавы. Получим ряд чисел:

1
1.5
1.125
1.6875
1.265625
1.8984375
1.423828125
1.06787109375
1.60180664062
1.20135498047
1.8020324707
1.35152435303
1.01364326477

Последнее число очень близко к единице, поэтому отбросим его и на этом остановимся, а сам ряд замкнем числом вдвое большим начального и упорядочим:

1
1.06787109375
1.125
1.20135498047
1.265625
1.35152435303
1.423828125
1.5
1.60180664062
1.6875
1.8020324707
1.8984375
2

Получилось деление октавы на 12 интервалов (полутонов). Красным здесь отмечены числа до 6-го шага включительно, которые расположены ближе к исходной единице в ряду, а значит наиболее устойчивы (часто используемы) в конкретной тональности. Если смотреть в сторону уменьшения длин, а не увеличения (ведь когда мы зажимаем струну, мы ее укорачиваем), интервалы между ними будут равняться 1-2-2-1-2-2-2-… А теперь обратите внимание на вторую струну гитары и ноты, расположенные на ней:

Си (1/2т) До (т) Ре (т) Ми (1/2т) Фа (т) Соль (т) Ля (т) Си,

что в точности соответствует найденным интервалам. Вот, собственно, откуда и взялись привычные нам семь основных нот. Вспомним теперь законы, по которым строится мажорная тональность 2-2-1-2-2-2-1-… и минорная 2-1-2-2-1-2-2-… Где 2 – это один тон, а 1 – полтона. Как видите, здесь та же циклическая последовательность, только за начало берутся разные интервалы.

Нечто похожее проделал Пифагор в VI веке до нашей эры, и полученный звукоряд поэтому называется пифагоровым. Осталось сделать лиру со струнами указанной длины или расположить струны на грифе и зажимать их в нужных точках. Казалось бы на этом можно и остановиться, но… полученный ряд хорош, только если мы играем в одной тональности, построенной от одной ноты. Если же приходится играть в разных тональностях, то он неприемлем.

Допустим, в одной и той же мелодии у нас используются ноты основной тональности До-мажор и параллельной ей Ля-минор, то есть при игре происходит какой-то переход из одной тональности в другую. Построим эти ноты и длины струн для них, исходя из интервалов между нотами.

Как видите, нота До здесь, как тоника До-мажора, и та же нота До, как терция (1,5 тона) Ля-минора, – это две разные ноты, что, согласитесь, весьма неудобно, а для гитары, у которой лады в отличие от скрипки или контрабаса фиксированы, просто недопустимо. Чтобы сыграть такую мелодию пришлось бы перестраивать инструмент в середине игры. Мы рассмотрели один пример, в других ошибка будет только нарастать.

Что же делать? Посмотрим, откуда возникает эта несостыковка. В пифогоровом ряде при последовательном умножении не происходит замыкание на единице, вместо нее мы получаем числа близкие, но не равные ей.

Представим себе гитару, у которой лады расположены только в тех местах, где высота увеличивается на октаву, то есть на половине струны, на четверти, одной восьмой и т. д. Тогда длину рабочей части струны можно выразить так: l = (1/2)ⁿ, где n − это номер лада. Обратно, номер лада n = log_½l. Теперь вспомним, что ладов у нас все-таки 12 в одной октаве и все их мы хотим построить, поэтому формулу правильнее будет записать n = 12 · log_½l. Посмотрим, как ложатся на эту кривую числа пифагорова ряда, для этого отсортируем их в обратном порядке, чтобы соответствующие струны располагались в сторону уменьшения длин и поделим на 2, чтобы длина большей струны принималась за единицу, а не за двойку:

1
0.94921875
0.901016235352
0.84375
0.800903320312
0.75
0.7119140625
0.675762176514
0.6328125
0.600677490234
0.5625
0.533935546875
0.5

Прологарифмируем по основанию 1/2 и умножим на 12:

0
0.902249956731
1.80449991346
2.94134997404
3.84359993077
4.98044999135
5.88269994808
6.78494990481
7.92179996538
8.82404992212
9.96089998269
10.8631499394
12

Идеально ложатся на кривую только первая нота октавы 0 и первая нота следующей октавы 12; нота, отстоящая на квинту (5 полутонов) от первой 4.98044999135 ложится хорошо, но не идеально. Однако, мы получили главное − непрерывную функцию l = 2^-n/12, выражающую зависимость длины струны от номера лада, для которой с одной стороны звуки соответствующих интервалов воспринимаются достаточно гармонично слухом, а с другой, не возникает ситуации, когда одна нота, выступающая в разных ипостасях, раздваивается. Нота До здесь – это всегда нота До, одна и та же. Получающийся при помощи данной функции ряд – это так называемый равномерно темперированный строй, предложенный китайцем Чжу Цзай Юй. Этот строй и используется в современной музыке.

Необходимо понимать, что здесь имеет место некое размазывание ошибки по всему звукоряду, с тем, чтобы вместо чистой квинты (3/2) и чистой секунды (9/8), как у Пифагора, получить необходимую нам чистую октаву.

Осталось только внести небольшое дополнение l = d · 2^-n/12, ведь длина струны равна не единице, а какой-то размерной величине d, которая также называется мензурой гитары.

Примерно по такому же правилу строится звукоряд духовых инструментов, но основными параметрами здесь выступают не длина струны и номер лада, а характеристики выходного потока воздуха. А что же с ударными? Возможно, вы видели, что на ударной установке есть всего несколько барабанов и при их совместной игре с гитарой в разных тональностях никакого диссонанса не возникает. Дело в том, что ударные издают не один звук, а целый спектр, поэтому и определенной частоты у них нет. Хотя это относится не ко всем ударным, колокола, например, все-таки имеют свою высоту звука.

В заключении хочется сказать, что деление октавы на 12 частей не единственно, у персов этих частей было 17 – за основу при делении струны они брали соотношение 4:3, а не 3:2. Существовало и множество других вариантов построения звукового ряда, но все они основывались на физических характеристиках струны или какого-то альтернативного источника звука.

Игорь Воронин, 4 августа 2009

Zlatochka2 23 марта 2011 19:07
Ого!!!!
Довольно таки занимательная статья..
Спасибо Админу

Валерий 29 августа 2012 09:33
В инете можно найти сборник по этому поводу "Акустика и настройка муз. инструментов". Там ещё более подробно рассматриваются эти особенности. Возможно автор этой статьи брал материал из этого сборника как первоисточник.

Дмитрий 9 сентября 2012 00:02
Пожалуй самая лучшая статья для понимания, как делится октава.
Другие статьи на эту тему встречались ну очень запутанные.

Евгений 23 апреля 2015 18:51
Отличная статья по звуковой ряд. Всё просто и понятно. А главное интересно.

В комментариях не предусмотрена дискуссия, если вы хотите получить ответ на свой вопрос или пообщаться с другими пользователями, пишите на форуме. Комментарии, не имеющие отношение к статье, удаляются.